Los hilos de la evolución: CAPÍTULO VII

Fractales

7.1. Definición

Un fractal es una clase de objeto geométrico cuya forma se repite a diferentes escalas, manteniendo un patrón similar sin importar cuánto te acerques o alejes de ella. Esta propiedad se conoce como "autosimilitud". Es como si el patrón se repitiese a sí mismo de manera infinita.

El concepto de fractal fue popularizado por el matemático Benoît Mandelbrot¹ en 1975, quien los estudió como una manera de describir la complejidad matemática y visual en la naturaleza. De hecho, Mandelbrot acuñó el término "fractal" del latín "fractus", que significa "roto" o "fracturado".

Los fractales se originan a través de procesos de iteración, donde una regla o ecuación inicial simple se repite muchas veces. Cada repetición del proceso lleva la figura un paso más allá en su complejidad. Un ejemplo clásico es el Conjunto de Mandelbrot, generado a partir de una ecuación matemática sencilla que, cuando se repite infinitamente, produce un patrón infinitamente complejo y autosimilar.

En resumen, los fractales son una ventana a la complejidad inherente en el universo, mostrándonos cómo la repetición de reglas simples puede dar lugar a patrones intrincados y fascinantes tanto en matemáticas como en el mundo natural.

 

7.2. La dimensión fractal

“Mandelbrot propuso que se asignaran a los fractales dimensiones que no fueran números enteros. La dimensión fraccionaria propuesta constituyó una manera de poder medir de otra forma características no definidas claramente. Por ejemplo, el grado de irregularidad de una línea de una bahía o la aspereza de una superficie. Mandelbrot propuso la forma de calcular la dimensión de un objeto fractal y demostró que el número que así se obtiene no depende de la escala en la que se hacen las observaciones…por tanto, el grado de irregularidad de un fractal es el mismo a medida que se cambia de escala… Como ilustración mencionaremos que la curva de Koch tiene una dimensión igual a 1.2618.”

 

7.3. Los fractales en la naturaleza

En la naturaleza, los fractales aparecen en muchos lugares. Por ejemplo, la forma de un copo de nieve, la estructura de un helecho, la ramificación de los árboles, incluso la distribución de galaxias en el universo, pueden describirse usando conceptos fractales. Lo fascinante de los fractales es que nos muestran cómo patrones simples pueden generar una complejidad abrumadora, un tema muy en línea con las discusiones de complejidad e información en nuestro libro.

Los fractales aparecen casi como ocultos a simple vista, pero revelando sus fascinantes patrones a todos aquellos que se atreven a mirar más de cerca. Se trata de figuras geométricas sin fin, cuyas formas se repiten de forma ininterrumpida y que, aunque no lo parezca, están presentes en prácticamente todos los aspectos de nuestro entorno.

De hecho, estos objetos son mucho más comunes de lo que solemos imaginar y aparecen manifestados en un sinfín de contextos diferentes. Uno de los ejemplos más icónicos es el de los copos de nieve, en los que las estructuras hexagonales se repiten de forma continuada tanto si observamos sus cristales individuales, como si nos centramos en las formaciones más grandes.

Otro ejemplo son los sistemas montañosos o las líneas costeras. Ese tipo de fenómenos geográficos responde a los patrones infinitos definidos por los fractales: las montañas suelen mostrar la autosimilitud en la topografía, repitiéndose a diferentes escalas la cadena de picos-valles-crestas, mientras que las líneas costeras destacan por las entradas y salidas del mar, iterándose una y otra vez a cada nivel de detalle.

Los sistemas de ramificación de las plantas no se quedan atrás. Durante el crecimiento, muchos vegetales (como el brócoli romanesco) siguen un patrón fractal, de forma que, al observar cómo las ramas se dividen en otras más pequeñas y estas, a su vez, en otras aún menores, estamos realmente asistiendo a un fenómeno fractal. De forma parecida, las nubes toman también formas fractales: su estructura se repite de forma constante debido a los patrones en los que se agrupan las moléculas de agua en el aire.

 

 

7.4. Los fractales en el arte

La influencia de los fractales se extiende mucho más allá de la propia naturaleza, colándose en el mundo del arte y la cultura de formas de lo más creativas e inspiradoras. Un ejemplo es la escultura y el arte digital, en donde los artistas han experimentado con la creación de diferentes formas tridimensionales basadas en la geometría fractal. Este tipo de obras puede tomar la forma de esculturas tridimensionales de formas complejas o, simplemente, objetos que evocan fenómenos naturales.

El triángulo de Sierpinski es un ejemplo de estructura fractal muy simple, donde el patrón triangular se repite a diferentes escalas para dar forma a la figura.

En la siguiente imagen vemos que con el aumento de complejidad se transforma en arte, haciendo más difícil encontrar las diferentes escalas de los triángulos.

En la imagen de un prisma, generada con un triángulo de Sierpinski como base. Se puede ver cómo refleja la luz a través del material de vidrio, destacando el patrón fractal del triángulo

7.5. Los fractales en otras disciplinas

En los últimos años se han incorporado los sistemas fractales a la física y a la computación, como una forma de modelar sistemas complejos o, incluso, comprimir ciertas imágenes.

En el mundo de la ciencia de datos y del análisis complejo, los fractales han sido una herramienta poderosa para comprender ciertos patrones intrincados en grandes conjuntos de información. Por ejemplo, en el estudio de redes y conexiones, los fractales ayudan a comprender y estudiar el funcionamiento de las redes neuronales y la forma en la que se guarda la información en las grandes bases de datos

La música se ha visto incluida en este movimiento geométrico. En múltiples ocasiones los músicos han utilizado algoritmos de repetición (aun sin conocer las leyes) para componer piezas musicales, basándose en el principio de autosimilitud. Se trata de obras estructuradas en diferentes partes, donde las estructuras se repiten en diferentes escalas temporales, creando composiciones de lo más cautivadoras y sorprendentes. Un ejemplo entre muchos, es la Cello Suite No. 3 de Bach, la cual presenta unos patrones de notas cortas y largas que reaparecen como patrones de frases a una escala mayor.

Los fractales también son muy útiles en el proceso de entender la evolución de ciertos sistemas caóticos como el clima, los fenómenos meteorológicos, los mercados financieros o las dinámicas poblacionales. Han entrado en la industria de los videojuegos, utilizándose para generar paisajes y terrenos cada vez más detallistas y reales, de forma que sea posible la creación de mundos virtuales o entornos del metaverso de lo más vastos y variados sin necesidad de tener que diseñar cada uno de los detalles de manera manual.

Finalmente, y muy importante, nos damos cuenta de que la fractalidad es también una constante en la evolución del Universo con el funcionamiento de los sistemas y con las estructuras mentales, como veremos a lo largo del libro.

1. Benoît Mandelbrot fue un matemático, informático, profesor, economista y visionario polaco nacionalizado francés y estadounidense. Mandelbrot trabajó 35 años en IBM, lo que le permitió acceder al nivel de potencia informática que le permitiría manipular imágenes generadas por ordenador y desarrollar su teoría de una geometría presente en todo nuestro entorno natural. Fue uno de los primeros en utilizar gráficos por ordenador para ilustrar y probar este tipo de conceptos, demostrando que los fenómenos naturales que parecen accidentados o caóticos tienen en realidad cierto grado de orden y previsibilidad.